效率前緣(Efficient Frontier)

Efficient的意思是「有效率的」,代表的是用最少的付出換取最大收穫。舉例來說有效率的工作可以是用一樣時間完成更多的事情,在資產配置的領域中”有效率“則是代表承擔一樣的風險但得到更高的報酬,這種配置就稱為有效率的資產配置。

Frontier的意思是「邊緣、邊境」、代表一條線。而效率前緣(Efficient Frontier)也的確就是一條線,只是在這條線上的任一點都是有效率的,點上的每一種投資組合都是在同樣風險下能擁有更大的報酬。

這是一個風險報酬之間的故事,衡量風險我們可以使用標準差,衡量報酬則是將過去每段時間的報酬取平均當作預期報酬,這篇文章裡有簡單介紹如何用標準差衡量風險。

畫出效率前緣圖

假設有我有100萬準備要投資以下兩種無相關性資產,其中標準差越小代表隔年報酬接近預期報酬的機會越高,在一樣的目標報酬下(過去數年報酬的平均值相同),會希望標準差越低越好這代表風險能被較好的控制。

兩種資產A、B資料如下:

預期報酬備註標準差備註
資產 AE(A)=10%過去數年平均報酬10%Std(A)=10%隔年報酬將有以下機率:
68.26%落在 0%~20%之間
95.44%落在 -10%~30%之間
99.72%落在 -20%~40%之間
資產 BE(B)=15%過去數年平均報酬15%Std(B)=20%隔年報酬將有以下機率:
68.26%落在 -5%~35%之間
95.44%落在 -25%~55%之間
99.72%落在 -45%~75%之間

關於怎麼分配這100萬在這兩種資產可以有無限多組組合,但簡單用10%為單位切割就可以有以下11種不同的組合。

組合1組合2組合3組合4組合5組合6組合7組合8組合9組合10組合11
資產A比重=a100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%
資產B比重=b0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%
預期報酬=E(i)10.0%10.5%11.0%11.5%12.0%12.5%13.0%13.5%14.0%14.5%15.0%
標準差=Std(i)10.0%9.2%8.9%9.2%10.0%11.2%12.6%14.3%16.1%18.0%20.0%

各組合的預期報酬E(i):
資產A比重乘上資產A的預期報酬 + 資產B比重乘上資產B的預期報酬。E(i) = a * E(A) + b * E(B)
而其中各組合的標準差Std(i):
根號(資產A比重的平方乘上資產A標準差的平方+ 資產B的比重的平方乘上資產B的標準差平方)。Std(i) = √(a^2*Std(A)^2 + b^2*Std(B)^2)
預期報酬E(i)很直觀沒有問題,標準差Std(i)就是兩個獨立的常態分配乘上常數相加。

將這11種組合放在”預期報酬-標準差”表格可以畫出下圖,綠色圓點越深代表B資產配置越多,而綠色圓點越淺代表A資產配置越多。

圖中的藍色線就稱為效率前緣,在藍色線上的任一點就是資產A、B搭配的種種組合中最有效率的組合,相反紅色線上代表的則是無效率的組合,舉例來說假設標準差10%是我能夠承擔的風險,然而標準差=10%的組合有兩組:
(紅色線上的)組合1 = 100%資產A
(藍色線上的)組合5 = 60%資產A+40%資產B
因為組合5的預期報酬=12%大於組合1的10%,所以藍色線上的組合5將會是在標準差(風險)=10%情況下最有效率的組合。

此外可以發現雖然資產A的風險較資產B低,但若做資產配置,最低標準差的組合居然不是100%資產A,而是加入一些些較高風險的資產B,有更高的預期報酬且更低的標準差(例如組合3相對組合1),這就是分散投資(Diversification)的「免費的午餐」。

加入更多組合

感覺上大部分的組合都是屬於有效率的資產配置,但如果可慮放空我們可以更活用效率前緣的工具,舉例來說我還是持有100萬需要投入資產A及資產B,組合12則是放空50萬資產B再將這50萬搭配本金100萬投入資產A。

組合12組合13組合14組合15組合16組合17組合18組合19組合20組合21
資產A比重=a150%140%130%120%110%-10%-20%-30%-40%-50%
資產B比重=b-50%-40%-30%-20%-10%110%120%130%140%150%
預期報酬=E(i)8%8%9%9%10%16%16%17%17%18%
標準差=Std(i)18%16%14%13%11%22%24%26%28%30%
紅色圓圈表示有做放空

使用夏普值計算最划算的配置

不論資產A或是B都是屬於風險資產,他們都有一定的波動存在,然而市場上往往還存在著無風險的資產,假設資產C擁有7%的預期報酬且標準差為0%,通常這種資產可能是短期的政府債券、定存、貨幣市場基金之類。

預期報酬=E(rf)備註標準差備註
資產C7%過去數年報酬都是7%0%無風險資產如短期國債、定存

如果我們可以零風險得到7%的報酬,那麼針對前面11種組合就能夠算出我每承擔1單位的標準差(風險)是為了比7%(無風險資產的報酬)多賺多少報酬,這個值就被稱為夏普值(Sharp ratio)。夏普值的提出者William F. Sharpe於1990獲諾貝爾經濟獎。

夏普值(Sharp ratio)=(E(i)-E(rf)) / Std(i); 其中E(rf) =無風險資產的期望報酬

如下表所示,組合5(60%資產A+40%資產B)不是預期報酬最高,也不是風險最低,但卻是這些組合中、在承擔相同單位的風險下,能夠獲取最高報酬的組合。

組合1組合2組合3組合4組合5組合6組合7組合8組合9組合10組合11
資產A比重100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%
資產B比重0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%
預期報酬10.0%10.5%11.0%11.5%12.0%12.5%13.0%13.5%14.0%14.5%15.0%
比無風險資產預期多賺3.00%3.50%4.00%4.50%5.00%5.50%6.00%6.50%7.00%7.50%8.00%
標準差(承擔的風險)10.0%9.2%8.9%9.2%10.0%11.2%12.6%14.3%16.1%18.0%20.0%
夏普值0.300.380.450.490.500.490.470.450.430.420.40

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