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風險與報酬是構成投資組合管裡的基本元素，使用標準差衡量風險（Using standard deviation to measure risk）是最普遍的做法而且也最直覺。從簡單的例子來看，若整個投資組合P包含兩項資產，X資產及Y資產，那該怎麼衡量這項投資組合的風險（標準差）以及預期報酬（期望值）呢？

• 投資組合P包含X資產以及Y資產
  • X資產的預期報酬（期望值) = E(X)
  • X資產的預期風險（標準差) = Std(X)
  • Y資產的預期報酬（期望值) = E(Y)
  • Y資產的預期風險（標準差) = Std(Y)
  • X資產及Y資產的相關性 = r
  • 投資組合P中X資產的比重是a;Y資產的比重是b; a+b=1

投資組合P的預期報酬很好理解就是：
E(P) = a E(X) + b E(Y)
就是”X的預計報酬乘上X資產的比重“加上”Y資產的預計報酬乘上Y資產的比重“。

比較複雜的是要如何衡量投資組合P的風險Std(P)，它的公式會長這樣：
Var(P) = Std(P)^2 = a^2 Std(X)^2 + b^2 Std(Y)^2 + 2 r a b std(X) std(Y)

其實應該不需要想太複雜，公式就是直接拿來用的，直觀的想就沒錯，例如如果X資產的風險Std(X)太高，同時X資產的比重a也高，那整個投資組合的風險也高，反之亦然。最需要注意的地方是X資產及Y資產的相關性r（相關係數），從公式就能夠看出來：

X資產及Y資產的相關性r越高，投資組合P的風險Std(P)也越高。
X資產及Y資產的相關性r越低，投資組合P的風險Std(P)也越低。

什麼是是資產間的相關性呢？簡單舉個相關性高的例子，例如同時買進賣冷氣的公司的股票跟賣冰棒的公司的股票，那這兩項資產恐怕就有很高的相關性。因為如果夏天特別熱，那這兩種資產可能都一起漲，反之夏天特別冷，這兩種公司的股票可能都會下跌。

相關係數r介於1到-1之間，越靠近1相關性越大，越靠近0越沒有關係，越靠近-1相關性越相反
1代表完全正相關
0代表無相關
-1代表完全負相關

不專業推導
假設X,Y平均為0; X,Y不失一般性
Var(aX+bY) = E((aX+bY)^2) = E[a^2 X^2 + b^2 Y^2 + 2 a b X Y]
=a^2 E(X^2) + b^2 E(Y^2) + 2 a b E(XY)
=a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2 a b Cov(XY)
= a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2 a b r std(X) std(Y)

下面觀察這兩項資產的各種搭配觀察看看其中預期報酬、風險、資產比重以及相關性的關係。相同的預期報酬下風險越低越好，相同風險下預期報酬越高越好。

例一：
X資產與Y資產預期報酬相同，X資產風險等於0，Y資產風險不等於0，相關係數等於0
E(X) = E(Y); Std(X) = 0; Std(Y) ≠ 0; r = 0

這種情況下投資組合P的預期報酬及風險會有以下分布：
當X資產的比重a越大，紅點漸漸往左移動，整個資產配置P所需要承擔的風險越小。從圖中可以看出此時因為X跟Y的預期報酬相同，最佳的資產配置就是100%的X資產，因為同樣預期報酬的水平下100%的X資產所需承擔的風險最小(=0)。通常零風險的資產為政府債券這類。

例二：
X資產與Y資產預期報酬相同，X資產風險等於Y資產風險且不等於0，相關係數等於0
E(X) = E(Y); Std(X) = Std(Y) ≠ 0; r = 0

這種情況下投資組合P的預期報酬及風險會有以下分布：
當X資產及Y資產的比重越接近50%-50%會出現最低的風險（標準差），而風險最高的情況出現在100%集中在同一種資產的情形。

這個例子可以做一個簡單卻實用的結論，就算是擁有一樣預期風險、一樣預期報酬的兩項”不相關”資產，只要做到資產配置，就能有效降低風險且報酬不變。

例三：
X資產及Y資產預期報酬相同，X資產風險等於Y資產風險且不等於0，相關係數等於1（完全正相關）
E(X) = E(Y); Std(X) = Std(Y) ≠ 0; r = 1

跟例二相比只有相關性不一樣，若兩項資產的相關性達到1代表完全正相關，且X資產及Y資產預期報酬、風險都相同，這樣的例子X資產及Y資產就是真正”完全相同的資產”，可以觀察下圖，這樣的資產配置不論如何組合都無法達到降低風險的效果。

例四：
X資產及Y資產預期報酬相同，X資產風險等於Y資產風險且不等於0，相關係數等於-1（完全負相關）
E(X) = E(Y); Std(X) = Std(Y) ≠ 0; r = -1

跟例二相比也是只有相關性不一樣，這次兩項資產的相關性達到-1也就是”完全負相關”，且X資產及Y資產預期報酬、風險都相同，在這種情況下最佳資產配置落在一半X資產一半Y資產的情況，而且是可以達到0風險並有穩定報酬的情形。

舉個小例子，假設一個擲硬幣的賭局，只要參加不論出現正反面都能獲得1元，押對正反面就能獲得100元，押錯面就要賠100元。在這種情況下出現正面的機率跟出現反面的機率達到”完全負相關”（因為不是正面就是反面），因為只要參加都能獲得1元，所以不論正反期望報酬等於1。這種遊戲最好的策略就是一半壓正面、一半壓反面，無風險賺取期望報酬1元。

有些”正1″、”反1″的ETF商品可能不能套用在這個例子上，因為就算兩邊都買一樣多，整個組合的期望報酬也不一定是正數，還有管理費、手續費等需要考量，正1反1能不能完美抵銷也兩說。

結論

雖然現實生活中幾乎不會遇到資產預期報酬相同的情況，但是上述例子還是可以讓我們簡單看出資產配置中各資產的相關性、風險、比重將如何影響整個資產配置的風險。

• 做資產配置的目的並不是為了獲取高收益，而是設法維持收益並控制風險（標準差）。
  舉個簡單的例子就能說明為什麼穩定（波動小、標準差小）很重要。
  
  假設ABC跟DEF兩檔股票，ABC連續三年每年獲益5％，DEF第一年獲益50％，第二年獲益50％，第三年則倒賠50％（波動大），請問這兩檔股票誰績效較好？
  答案將是每年穩定5％的資產。

股票	第一年	第二年	第三年	總獲益
ABC	5%	5%	5%	15.76%
DEF	50%	50%	-50%	12.50%

• 資產間的相關性越低越好，因為能夠有效將低風險。
  由比較上面例二、例三、例四就能有效看出相關性如何影響整個資產配置的風險（標準差），基本上相關性越低越有效降低風險。

範例	相關係數	相關性	風險最低的情況	最低風險的值
例二	0	無相關	兩資產各半	(1/√2)*Std(X)
例三	1	完全正相關	無論如何配置風險相同	Std(X)
例四	-1	完全負相關	兩資產各半	0*Std(X)

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