資產配置如何降低風險?(How asset allocation reduce risk?) — 1

若整個投資組合P有兩項資產,X資產及Y資產,那該怎麼衡量這項投資組合的風險(標準差)以及預期報酬(期望值)呢?

  • 投資組合P包含X資產以及Y資產
    • X資產的預期報酬(期望值) = E(X)
    • X資產的預期風險(標準差) = Std(X)
    • Y資產的預期報酬(期望值) = E(Y)
    • Y資產的預期風險(標準差) = Std(Y)
    • X資產及Y資產的相關性 = r
    • 投資組合P中X資產的比重是a;Y資產的比重是b; a+b=1

投資組合P的預期報酬很好理解就是:
E(P) = a E(X) + b E(Y)
就是”X的預計報酬乘上X資產的比重“加上”Y資產的預計報酬乘上Y資產的比重“。

比較複雜的是要如何衡量投資組合P的風險Std(P),它的公式會長這樣:
Var(P) = Std(P)^2 = a^2 Std(X)^2 + b^2 Std(Y)^2 + 2 r a b std(X) std(Y)

其實應該不需要想太複雜,公式就是直接拿來用的,直觀的想就沒錯,例如如果X資產的風險Std(X)太高,同時X資產的比重a也高,那整個投資組合的風險也高,反之亦然。最需要注意的地方是X資產及Y資產的相關性r(相關係數),從公式就能夠看出來:

X資產及Y資產的相關性r越高,投資組合P的風險Std(P)也越高。
X資產及Y資產的相關性r越低,投資組合P的風險Std(P)也越低。


什麼是是資產間的相關性呢?簡單舉個相關性高的例子,例如同時買進賣冷氣的公司的股票跟賣冰棒的公司的股票,那這兩項資產恐怕就有很高的相關性。因為如果夏天特別熱,那這兩種資產可能都一起漲,反之夏天特別冷,這兩種公司的股票可能都會下跌。

相關係數r介於1到-1之間,越靠近1相關性越大,越靠近0越沒有關係,越靠近-1相關性越低(越相反)
1代表完全正相關
0代表無相關
-1代表完全負相關

不專業推導
假設X,Y平均為0; X,Y不失一般性
Var(aX+bY) = E((aX+bY)^2) = E[a^2 X^2 + b^2 Y^2 + 2 a b X Y]
=a^2 E(X^2) + b^2 E(Y^2) + 2 a b E(XY)
=a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2 a b Cov(XY)
= a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2 a b r std(X) std(Y)

下面觀察這兩項資產的各種搭配觀察看看其中預期報酬、風險、資產比重以及相關性的關係。記住,相同的預期報酬下風險越低越好,相同風險下預期報酬越高越好。

例一:
X資產與Y資產預期報酬相同,X資產風險等於0,Y資產風險不等於0,相關係數等於0
E(X) = E(Y); Std(X) = 0; Std(Y) ≠ 0; r = 0

這種情況下投資組合P的預期報酬及風險會有以下分布:
當X資產的比重a越大,紅點漸漸往左移動,整個資產配置P所需要承擔的風險越小。從圖中可以看出此時因為X跟Y的預期報酬相同,最佳的資產配置就是100%的X資產,因為同樣預期報酬的水平下100%的X資產所需承擔的風險最小(=0)。通常零風險的資產為政府債券這類。

例二:
X資產與Y資產預期報酬相同,X資產風險等於Y資產風險且不等於0,相關係數等於0
E(X) = E(Y); Std(X) = Std(Y) ≠ 0; r = 0

這種情況下投資組合P的預期報酬及風險會有以下分布:
當X資產及Y資產的比重越接近50%-50%會出現最低的風險(標準差),而風險最高的情況出現在100%集中在同一種資產的情形。

當X資產及Y資產各一半一半時,資產配置P擁有最低風險

這個例子可以做一個簡單卻實用的結論,就算是擁有一樣預期風險、一樣預期報酬的兩項”不相關”資產,只要做到資產配置,就能有效降低風險且報酬不變。

例三:
X資產及Y資產預期報酬相同,X資產風險等於Y資產風險且不等於0,相關係數等於1 (完全正相關)
E(X) = E(Y); Std(X) = Std(Y) ≠ 0; r = 1

跟例二相比只有相關性不一樣,若兩項資產的相關性達到1代表完全正相關,且X資產及Y資產預期報酬、風險都相同,這樣的例子X資產及Y資產就是真正”完全相同的資產”,可以觀察下圖,這樣的資產配置不論如何組合都無法達到降低風險的效果。

例四:
X資產及Y資產預期報酬相同,X資產風險等於Y資產風險且不等於0,相關係數等於-1 (完全負相關)
E(X) = E(Y); Std(X) = Std(Y) ≠ 0; r = -1

跟例二相比也是只有相關性不一樣,這次兩項資產的相關性達到-1也就是”完全負相關”,且X資產及Y資產預期報酬、風險都相同,在這種情況下最佳資產配置落在一半X資產一半Y資產的情況,而且是可以達到0風險並有穩定報酬的情形。

舉個小例子,假設一個擲硬幣的賭局,只要參加不論出現正反面都能獲得1元,押對正反面就能獲得100元,押錯面就要賠100元。在這種情況下出現正面的機率跟出現反面的機率達到”完全負相關”(因為不是正面就是反面),因為只要參加都能獲得1元,所以不論正反期望報酬等於1。

假設你有1000元,那最好的方法就是一半壓正面、一半壓反面,如此就能無風險賺取期望報酬1元。

有些”正1″、”反1″的ETF商品不能套用在這個例子上,因為他們的期望報酬不一定是正數,若不計較管理費、手續費等,一正一負剛好抵銷。

結論

雖然現實生活中幾乎不會遇到資產預期報酬相同的情況,但是上述例子還是可以讓我們簡單看出資產配置中各資產的相關性、風險、比重將如何影響整個資產配置的風險。

  • 做資產配置的目的並不是為了獲取高收益,而是設法維持收益並控制風險(標準差)。
    舉個簡單的例子就能說明為什麼穩定(波動小、標準差小)很重要。

    假設ABC跟DEF兩檔股票,ABC連續三年每年獲益5%,DEF第一年獲益50%,第二年獲益50%,第三年則倒賠50%(波動大),請問這兩檔股票誰績效較好?
    答案將是每年穩定5%的資產。
股票第一年第二年第三年總獲益
ABC5%5%5%15.76%
DEF50%50%-50%12.50%
  • 資產間的相關性越低越好,因為能夠有效將低風險。
    由比較上面例二、例三、例四就能有效看出相關性如何影響整個資產配置的風險(標準差),基本上相關性越低越有效降低風險。
範例相關係數相關性風險最低的情況最低風險的值
例二0無相關兩資產各半(1/√2)*Std(X)
例三1完全正相關無論如何配置風險相同Std(X)
例四-1完全負相關兩資產各半0*Std(X)

下一篇:資產配置如何降低風險?(How asset allocation reduce risk?) — 2來觀察更多且其他案例。

This Post Has One Comment

  1. 匿名訪客

    居然有這麼高水準的財經部落格,今天爬了好幾篇,感謝分享!

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