使用標準差衡量風險(Using standard deviation to measure risk)

莎士比亞筆下的威尼斯商人安東尼歐知道”不要將雞蛋放在同一個籃子裡,以免當籃子破了淚流不止”。大家都能夠理解雞蛋分開放將會降低風險,這是個分散可以降低風險的好直觀例子。

但是究竟該怎麼用數字衡量風險,怎麼知道這樣做風險增加或減少了多少,在現代投資組合理論中普遍使用標準差(Standard Deviation, SD)來衡量風險。

先知道關於報酬、風險以及標準差的普遍關係是:
每年報酬的差異越大、風險越大、標準差越大
每年報酬的差異越小、風險越小、標準差越小

用下面的例子來驗證看看”定存”跟”股票(用0050這檔ETF)”,是不是真的”定存”標準差小,”股票”標準差大。

*可以在EXCEL用公式”=STDEV.P(資料範圍)”計算出標準差。

0050每年報酬定存每年報酬
200322.6%3.00%
20045.1%2.00%
20056.8%2.00%
200612.2%2.00%
20076.2%2.00%
2008-45.8%1.00%
200968.7%1.25%
20108.7%1.25%
2011-18.1%1.25%
20128.5%1.25%
20139.0%1.25%
201414.2%2.00%
2015-8.9%2.00%
201617.2%2.00%
201714.7%2.00%
2018-8.0%2.00%
201927.9%1.75%
平均(Mean)8.3%1.8%
標準差(SD)22.5%0.5%
波動越大,標準差(風險)越大
波動越小,標準差(風險)越小

如何解讀標準差?(How to interpret standard deviation?)

根據上表股票0050這隻ETF自2003年到2019年的標準差是22.5%,而定存的標準差則是0.5%,所以的確股票的風險高於定存,定存因為每年妥妥領2%左右,所以風險(標準差)很低約等於0.5%,標準差提供了一個衡量風險的工具。

下一題是,如果2020年將資產都放在0050那麼我們預計的回報是多少?承擔的風險又是多少呢?

最簡單的方式是像下面一樣畫一條趨勢線,將過去每年的報酬取平均,則2020年的報酬率等於平均數8.3%的機率最大,而離8.3%越遠則發生的機率越小。

接下來要如何解讀標準差=22.5%代表的意義呢?其實也跟機率有關,透過標準差可以大概得知下一年(也就是2020)報酬能夠有以下機率。

  • 上漲超過75.8%的機率=0.1%
  • 上漲界於53.3%到75.8%的機率=2.1% (約每50年就發生1次)
  • 上漲界於30.8%到53.3%的機率=13.6% (約每7年就發生1次)
  • 上漲界於8.30%到30.8%的機率=34.1% (約每3年就發生1次)
  • 上漲界於-14.21%到8.3%的機率=34.1% (約每3年就發生1次)
  • 下跌界於36.72%到14.21%的機率=13.6% (約每7年就發生1次)
  • 下跌界於59.23%到36.72% 的機率=2.1% (約每50年就發生1次)
  • 下跌超過59.23%的機率=0.1%
0050報酬率累積機率分布圖

當然這種用法是需要做很多假設,但標準差的基本使用方式就是這樣,離平均數正負1個標準差的機率各是34.1%,正負2個標準差的機率各是47.7%,正負3個標準差的機率各是49.8%,使用這樣的方式讓我們的風險處在於可以控制的範圍。

下圖則是定存的機率分布圖,標準差越低的資產隔年的報酬率不會差太多。(標準差越小,預期的收益就越好掌握)

不論何時,如果有人要賣金融商品給你你就問他標準差是多少、資料有幾年,如果他不能馬上回答出來,或是讓你只看近年的報酬,那就代表他只是想賣你這樣資產,不是為你的風險把關。

結語

統計學上標準差的公式是:

  • Xi = 第 i 年的報酬
  • u = 平均每年報酬
  • N = 資料數

從公式就看很直覺地看出來,如果每年的報酬(Xi)跟平均報酬(u)的差距(Xi-u)越大,那標準差越大,反之亦然,標準差是一個很好的衡量波動性的數學指標,這裡使用標準差衡量風險更準確的說應該是”無法實現預期報酬(期望值)的可能性“。

風險的衡量其實非常專業且複雜(就連風險的定義都有好幾種),上述使用標準差的範例只是提供一個非常基本又好理解的方法。在實際生活中的限制其實挺多,好比說實際每年的經濟環境都是不一樣的,就算環境是一樣的普遍能參考的樣本數卻也很少,例如(0050)只有從2003年開始的資料,但至少要有30年的資料可能才會是一個好的樣本數,不管如何標準差還是一個非常棒的風險控制工具,它簡單易懂且合理。

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