Blog

莎士比亞筆下的威尼斯商人安東尼歐知道”不要將雞蛋放在同一個籃子裡，以免當籃子破了淚流不止”。大家都能夠理解雞蛋分開放將會降低風險，這是個分散可以降低風險的好直觀例子。

但是究竟該怎麼用數字衡量風險，怎麼知道這樣做風險增加或減少了多少，在現代投資組合理論中普遍使用標準差（Standard Deviation, SD）來衡量風險。

先知道關於報酬、風險以及標準差的普遍關係是：
每年報酬的差異越大、風險越大、標準差越大，
每年報酬的差異越小、風險越小、標準差越小。

用下面的例子來驗證看看”定存”跟”股票（用0050這檔ETF）”，是不是真的”定存”標準差小，”股票”標準差大。

*可以在EXCEL用公式”=STDEV.P(資料範圍)”計算出標準差。

如何解讀標準差？

根據上表股票0050這隻ETF自2003年到2019年的標準差是22.5%，而定存的標準差則是0.5%，所以的確股票的風險高於定存，定存因為每年妥妥領2%左右，所以風險（標準差）很低約等於0.5%，標準差提供了一個衡量風險的工具。

下一題是，如果2020年將資產都放在0050那麼我們預計的回報是多少？承擔的風險又是多少呢？

最簡單的方式是像下面一樣畫一條趨勢線，將過去每年的報酬取平均，則2020年的報酬率等於平均數8.3%的機率最大，而離8.3%越遠則發生的機率越小。

接下來要如何解讀標準差=22.5%代表的意義呢？其實也跟機率有關，透過標準差可以大概得知下一年(也就是2020)報酬能夠有以下機率。

• 上漲超過75.8%的機率=0.1%
• 上漲界於53.3%到75.8%的機率=2.1% （約每50年就發生1次）
• 上漲界於30.8%到53.3%的機率=13.6% （約每7年就發生1次）
• 上漲界於8.30%到30.8%的機率=34.1% （約每3年就發生1次）
• 上漲界於-14.21%到8.3%的機率=34.1% （約每3年就發生1次）
• 下跌界於36.72%到14.21%的機率=13.6% （約每7年就發生1次）
• 下跌界於59.23%到36.72% 的機率=2.1% （約每50年就發生1次）
• 下跌超過59.23%的機率=0.1%

當然這種用法是需要做很多假設，但標準差的基本使用方式就是這樣，離平均數正負1個標準差的機率各是34.1%，正負2個標準差的機率各是47.7%，正負3個標準差的機率各是49.8%，使用這樣的方式讓我們的風險處在於可以控制的範圍。

下圖則是定存的機率分布圖，標準差越低的資產隔年的報酬率不會差太多。（標準差越小，預期的收益就越好掌握）

不論何時，如果有人要賣金融商品給你你就問他標準差是多少、資料有幾年，如果他不能馬上回答出來，或是讓你只看近年的報酬，那就代表他只是想賣你這樣資產，不是為你的風險把關。

結語

統計學上標準差的公式是：

• Xi = 第 i 年的報酬
• u = 平均每年報酬
• N = 資料數

從公式就看很直覺地看出來，如果每年的報酬（Xi）跟平均報酬（u）的差距（Xi-u）越大，那標準差越大，反之亦然，標準差是一個很好的衡量波動性的數學指標，這裡使用標準差衡量風險更準確的說應該是”無法實現預期報酬（期望值）的可能性“。

風險的衡量其實非常專業且複雜（就連風險的定義都有好幾種），上述使用標準差的範例只是提供一個非常基本又好理解的方法。在實際生活中的限制其實挺多，好比說實際每年的經濟環境都是不一樣的，就算環境是一樣的普遍能參考的樣本數卻也很少，例如(0050)只有從2003年開始的資料，但至少要有30年的資料可能才會是一個好的樣本數，不管如何標準差還是一個非常棒的風險控制工具，它簡單易懂且合理。